Lois de Probabilité — Formules et Exemples

Sommaire

1. Loi Binomiale
2. Loi de Poisson
3. Loi Normale

1. Loi Binomiale

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans \(n\) épreuves indépendantes identiques, chacune ayant une probabilité \(p\) de succès.

\( P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1 - p)^{n - k} \), pour \( k = 0, 1, \dots, n \)

Espérance : \( E(X) = np \) Variance : \( V(X) = np(1 - p) \)

Exemples :

On lance une pièce 5 fois. Probabilité d’obtenir 3 faces : \( P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125 \)

Une machine produit 5% de pièces défectueuses. Probabilité d’avoir 2 défectueuses sur 10 : \( P(X=2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8 = 45 \times 0.0025 \times 0.6634 = 0.0748 \)

Sur 20 tentatives de tir, la probabilité d’en réussir 15 avec \(p=0.8\) : \( P(X=15) = \binom{20}{15} (0.8)^{15} (0.2)^5 \)

2. Loi de Poisson

La loi de Poisson est utilisée pour modéliser le nombre d’événements rares sur un intervalle de temps ou d’espace donné.

\( P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \), pour \( k = 0, 1, 2, \dots \)

Espérance et Variance : \( E(X) = V(X) = \lambda \)

Exemples :

Le nombre moyen d’accidents par jour est \(\lambda = 2\). Probabilité qu’il y en ait exactement 3 : \( P(X=3) = \dfrac{e^{-2} \times 2^3}{3!} = 0.180 \)

Une boîte reçoit en moyenne 4 messages/minute. Probabilité d’en recevoir 6 : \( P(X=6) = \dfrac{e^{-4} \times 4^6}{6!} = 0.104 \)

Nombre moyen d’erreurs dans un document : \(\lambda = 1.5\). \( P(X=0) = e^{-1.5} = 0.223 \)

3. Loi Normale

La loi normale (ou gaussienne) modélise des phénomènes continus centrés autour d’une moyenne \(\mu\), avec une dispersion mesurée par l’écart-type \(\sigma\).

\( f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{ -\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} } \)

On note \( X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \).

Exemples :

La taille d’une population suit \( \mathcal{N}(170, 10^2) \). Probabilité d’avoir une taille entre 160 et 180 cm : \( P(160 < X < 180) = P(-1 < Z < 1) = 0.6826 \)

Durée de vie d’une lampe : \( \mu = 1000h, \sigma = 100h \). Probabilité qu’elle dure plus de 1200h : \( P(X > 1200) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \)

Note d’examen : \( X \sim \mathcal{N}(12, 3^2) \). Probabilité d’obtenir une note supérieure à 15 : \( P(Z > 1) = 0.1587 \)